Вариант Е 1 Решите уравнения: a) \(\frac{x^{2}-8x}{5-x}=\frac{15}{x-5}\); б) \(\frac{2x^{2}+x-1}{x+1}=3x+1\); в) \(\frac{3x+1}{x}+\frac{5}{x-2}=2\)

Решим уравнения.

a) \(\frac{x^{2}-8x}{5-x}=\frac{15}{x-5}\)

Преобразуем знаменатель второй дроби: \(x-5 = -(5-x)\)

\(\frac{x^{2}-8x}{5-x}=-\frac{15}{5-x}\)

ОДЗ: \(x
eq 5\)

Умножим обе части уравнения на \(5-x\):

\(x^2 - 8x = -15\)

\(x^2 - 8x + 15 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4\)

\(x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = 3\)

Так как \(x
eq 5\), то корнем является только \(x = 3\).

б) \(\frac{2x^{2}+x-1}{x+1}=3x+1\)

ОДЗ: \(x
eq -1\)

Разложим числитель на множители, для этого решим квадратное уравнение \(2x^2 + x - 1 = 0\):

\(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\)

\(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}\)

\(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1\)

Тогда \(2x^2 + x - 1 = 2(x-\frac{1}{2})(x+1)\)

\(\frac{2(x-\frac{1}{2})(x+1)}{x+1}=3x+1\)

Так как \(x
eq -1\), сократим дробь:

\(2(x-\frac{1}{2}) = 3x + 1\)

\(2x - 1 = 3x + 1\)

\(-x = 2\)

\(x = -2\)

в) \(\frac{3x+1}{x}+\frac{5}{x-2}=2\)

ОДЗ: \(x
eq 0, x
eq 2\)

Приведем дроби к общему знаменателю \(x(x-2)\):

\(\frac{(3x+1)(x-2)}{x(x-2)}+\frac{5x}{x(x-2)}=\frac{2x(x-2)}{x(x-2)}\)

Умножим обе части уравнения на \(x(x-2)\):

\((3x+1)(x-2) + 5x = 2x(x-2)\)

\(3x^2 - 6x + x - 2 + 5x = 2x^2 - 4x\)

\(3x^2 - 2 = 2x^2 - 4x\)

\(x^2 + 4x - 2 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24\)

\(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2\sqrt{6}}{2} = -2 + \sqrt{6}\)

\(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2\sqrt{6}}{2} = -2 - \sqrt{6}\)

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: a) 3; б) -2; в) \(-2 + \sqrt{6}\) и \(-2 - \sqrt{6}\)