Вариант Б1 1 Решите уравнения: a) \(\frac{x^{2}-12}{x-3}=\frac{x}{3-x}\); б) \(\frac{2x^{2}-5x+2}{x-2}=4x+1\); в) \(\frac{2x-3}{x}=\frac{1}{x+2}-\frac{4x-6}{x^{2}+2x}\)

Решим уравнения.

a) \(\frac{x^{2}-12}{x-3}=\frac{x}{3-x}\)

Преобразуем знаменатель второй дроби: \(3-x = -(x-3)\)

\(\frac{x^{2}-12}{x-3}=-\frac{x}{x-3}\)

ОДЗ: \(x
eq 3\)

Умножим обе части уравнения на \(x-3\):

\(x^2 - 12 = -x\)

\(x^2 + x - 12 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\)

\(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4\)

Так как \(x
eq 3\), то корнем является только \(x = -4\).

б) \(\frac{2x^{2}-5x+2}{x-2}=4x+1\)

ОДЗ: \(x
eq 2\)

Разложим числитель на множители, для этого решим квадратное уравнение \(2x^2 - 5x + 2 = 0\):

\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\)

\(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = 2\)

\(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}\)

Тогда \(2x^2 - 5x + 2 = 2(x-2)(x-\frac{1}{2})\)

\(\frac{2(x-2)(x-\frac{1}{2})}{x-2}=4x+1\)

Так как \(x
eq 2\), сократим дробь:

\(2(x-\frac{1}{2}) = 4x + 1\)

\(2x - 1 = 4x + 1\)

\(-2x = 2\)

\(x = -1\)

в) \(\frac{2x-3}{x}=\frac{1}{x+2}-\frac{4x-6}{x^{2}+2x}\)

ОДЗ: \(x
eq 0, x
eq -2\)

\(\frac{2x-3}{x}=\frac{1}{x+2}-\frac{4x-6}{x(x+2)}\)

Приведем дроби к общему знаменателю \(x(x+2)\):

\(\frac{(2x-3)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{x}{x(x+2)}-\frac{4x-6}{x(x+2)}\)

Умножим обе части уравнения на \(x(x+2)\):

\((2x-3)(x+2) = x - (4x - 6)\)

\(2x^2 + 4x - 3x - 6 = x - 4x + 6\)

\(2x^2 + x - 6 = -3x + 6\)

\(2x^2 + 4x - 12 = 0\)

\(x^2 + 2x - 6 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28\)

\(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 2\sqrt{7}}{2} = -1 + \sqrt{7}\)

\(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 2\sqrt{7}}{2} = -1 - \sqrt{7}\)

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: a) -4; б) -1; в) \(-1 + \sqrt{7}\) и \(-1 - \sqrt{7}\)