Вариант 1 Решите уравнения: a) \(\frac{x^{2}+2x}{x+4}=\frac{8}{x+4}\); б) \(\frac{10}{x}=7-x\); в) \(\frac{x+3}{x}=\frac{2x+10}{x-3}\)

Решим уравнения.

a) \(\frac{x^{2}+2x}{x+4}=\frac{8}{x+4}\)

ОДЗ: \(x
eq -4\)

Умножим обе части уравнения на \(x+4\):

\(x^2 + 2x = 8\)

\(x^2 + 2x - 8 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)

\(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)

\(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4\)

Так как \(x
eq -4\), то корнем является только \(x = 2\).

б) \(\frac{10}{x}=7-x\)

ОДЗ: \(x
eq 0\)

Умножим обе части уравнения на \(x\):

\(10 = 7x - x^2\)

\(x^2 - 7x + 10 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\)

\(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = 2\)

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

в) \(\frac{x+3}{x}=\frac{2x+10}{x-3}\)

ОДЗ: \(x
eq 0, x
eq 3\)

Умножим обе части уравнения на \(x(x-3)\):

\((x+3)(x-3) = x(2x+10)\)

\(x^2 - 9 = 2x^2 + 10x\)

\(x^2 + 10x + 9 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\)

\(x_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 8}{2} = -1\)

\(x_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 8}{2} = -9\)

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: a) 2; б) 5 и 2; в) -1 и -9