Вариант Б1. 3. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть ABCD — прямоугольник, а его диагонали AC и BD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: \(AO=BO\).
2. Так как \(AC\perp BD\), треугольник AOB прямоугольный. В нём равные катеты \(AO\) и \(BO\), значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник.
3. Следовательно, \(\angle OAB=45^\circ\). Поскольку диагональ AC делит прямой угол прямоугольника, \(\angle DAC=45^\circ\) и \(\angle BAC=45^\circ\).
4. В прямоугольном треугольнике ABC углы при A и B равны, поэтому его катеты равны: \(AB=BC\).
5. У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, \(AB=BC=CD=DA\).

Следовательно, прямоугольник является ромбом. Прямоугольник, являющийся ромбом, — квадрат.

Что и требовалось доказать.