Вариант Б1, № 3. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от $x$ и $y$: $\frac{2y^2}{xy+2y^2}-\frac{2xy-x^2}{x^2-4y^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант Б1, № 3. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от $x$ и $y$:…$ Фото задания

Вариант Б1, № 3. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от $x$ и $y$: $\frac{2y^2}{xy+2y^2}-\frac{2xy-x^2}{x^2-4y^2}$.

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители. Допустимые значения удовлетворяют условиям $y\ne0$ и $x\ne\pm2y$.

$\frac{2y^2}{xy+2y^2}-\frac{2xy-x^2}{x^2-4y^2}=\frac{2y^2}{y(x+2y)}-\frac{x(2y-x)}{(x-2y)(x+2y)}$.

Сокращаем дроби с учётом ограничений: $\frac{2y}{x+2y}-\frac{-x(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{2y}{x+2y}+\frac{x}{x+2y}$.

$\frac{2y+x}{x+2y}=1$, поэтому значение не зависит от $x$ и $y$.

Ответ: выражение тождественно равно $1$ при всех допустимых значениях переменных.

Вариант Б1, № 3. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от \(x\) и \(y\): \(\frac{2y^2}{xy+2y^2}-\frac{2xy-x^2}{x^2-4y^2}\).

Ответ: