Вариант Б2, № 3. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от $x$ и $y$: $\frac{x^2+2xy}{x^2-4y^2}+\frac{2y^2}{2y^2-xy}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант Б2, № 3. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от $x$ и $y$:…$ Фото задания

Вариант Б2, № 3. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от $x$ и $y$: $\frac{x^2+2xy}{x^2-4y^2}+\frac{2y^2}{2y^2-xy}$.

Accepted Answer

Разложим числители и знаменатели на множители. Допустимые значения удовлетворяют условиям $x\ne\pm2y$ и $y\ne0$.

$\frac{x^2+2xy}{x^2-4y^2}+\frac{2y^2}{2y^2-xy}=\frac{x(x+2y)}{(x-2y)(x+2y)}+\frac{2y^2}{y(2y-x)}$.

Так как $2y-x=-(x-2y)$, сокращаем дроби с учётом ограничений:

$\frac{x}{x-2y}-\frac{2y}{x-2y}=\frac{x-2y}{x-2y}=1$.

Ответ: выражение тождественно равно $1$ при всех допустимых значениях переменных.

Вариант Б2, № 3. Докажите, что при любых допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от \(x\) и \(y\): \(\frac{x^2+2xy}{x^2-4y^2}+\frac{2y^2}{2y^2-xy}\).

Ответ: