Вариант Б1, Задание 2 Сумма площадей правильно-го четырехугольника, описанного около окружности, и правильного треугольника, вписанного в эту окружность, равна (64+12√3) см. Найдите длину окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим радиус окружности как R.
2. Шаг 2: Площадь квадрата, описанного около окружности, равна \( S_{квадрата} = (2R)^2 = 4R^2 \).
3. Шаг 3: Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность, равна \( S_{триугольника} = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 \).
4. Шаг 4: Сумма площадей равна \( 4R^2 + \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 = R^2(4 + \frac{3\sqrt{3}}{4}) \).
5. Шаг 5: По условию задачи, \( R^2(4 + \frac{3\sqrt{3}}{4}) = 64 + 12\sqrt{3} \).
6. Шаг 6: Приведем правую часть к общему знаменателю: \( 64 + 12\sqrt{3} = \frac{256 + 48\sqrt{3}}{4} \).
7. Шаг 7: Сравним выражения: \( R^2(4 + \frac{3\sqrt{3}}{4}) = \frac{16 + 3\sqrt{3}}{4} R^2 \).
8. Шаг 8: Из уравнения \( \frac{16 + 3\sqrt{3}}{4} R^2 = \frac{256 + 48\sqrt{3}}{4} \) следует, что \( (16 + 3\sqrt{3}) R^2 = 256 + 48\sqrt{3} \).
9. Шаг 9: Разделим обе части на \( 16 + 3\sqrt{3} \): \( R^2 = \frac{256 + 48\sqrt{3}}{16 + 3\sqrt{3}} \).
10. Шаг 10: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 16 - 3\sqrt{3} \): \( R^2 = \frac{(256 + 48\sqrt{3})(16 - 3\sqrt{3})}{(16 + 3\sqrt{3})(16 - 3\sqrt{3})} \).
11. Шаг 11: Вычислим числитель: \( 256  16 - 256  3\sqrt{3} + 48\sqrt{3}  16 - 48\sqrt{3}  3\sqrt{3} = 4096 - 768\sqrt{3} + 768\sqrt{3} - 144  3 = 4096 - 432 = 3664 \).
12. Шаг 12: Вычислим знаменатель: \( 16^2 - (3\sqrt{3})^2 = 256 - 9  3 = 256 - 27 = 229 \).
13. Шаг 13: \( R^2 = \frac{3664}{229} = 16 \).
14. Шаг 14: Найдем радиус: \( R = \sqrt{16} = 4 \) см.
15. Шаг 15: Найдем длину окружности (L): \( L = 2\pi R \).
16. Шаг 16: \( L = 2  \pi  4 = 8\pi \) см.

Ответ: Длина окружности равна \( 8\pi \) см.