Вариант Б1, Задание 3 В треугольнике ABC AB = BC = 20 см, AC = 24 см. Найдите: a) AB·AC, BA·BC, CA·CB; б) длину окружности, описанной около треугольника; в) площадь круга, вписанного в треугольник.

Пошаговое решение:

Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC.

a) Скалярные произведения векторов:

1. Шаг 1: Находим AB·AC.

   Для этого нужно найти косинус угла между векторами AB и AC. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC), угол BAC = угол BCA. Используем теорему косинусов для нахождения cos(BAC).

   \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2  AB  AC  \cos(BAC) \)

   \( 20^2 = 20^2 + 24^2 - 2  20  24  \cos(BAC) \)

   \( 400 = 400 + 576 - 960  \cos(BAC) \)

   \( 0 = 576 - 960  \cos(BAC) \)

   \( 960  \cos(BAC) = 576 \)

   \( \cos(BAC) = \frac{576}{960} = \frac{3}{5} \)

   Теперь найдем скалярное произведение: \( AB  AC = |AB|  |AC|  \cos(BAC) = 20  24  \frac{3}{5} = 4  24  3 = 288 \).

2. Шаг 2: Находим BA·BC.

   Угол между векторами BA и BC равен углу ABC. Найдем cos(ABC) по теореме косинусов:

   \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2  AB  BC  \cos(ABC) \)

   \( 24^2 = 20^2 + 20^2 - 2  20  20  \cos(ABC) \)

   \( 576 = 400 + 400 - 800  \cos(ABC) \)

   \( 576 = 800 - 800  \cos(ABC) \)

   \( 800  \cos(ABC) = 800 - 576 = 224 \)

   \( \cos(ABC) = \frac{224}{800} = \frac{7}{25} \)

   Скалярное произведение: \( BA  BC = |BA|  |BC|  \cos(ABC) = 20  20  \frac{7}{25} = 4  20  7 = 560 \).

3. Шаг 3: Находим CA·CB.

   Угол между векторами CA и CB равен углу ACB. Так как треугольник равнобедренный с AB=BC, то угол ACB = угол BAC.

   \( \cos(ACB) = \cos(BAC) = \frac{3}{5} \)

   Скалярное произведение: \( CA  CB = |CA|  |CB|  \cos(ACB) = 24  20  \frac{3}{5} = 24  4  3 = 288 \).

б) Длина описанной окружности:

1. Шаг 1: Найдем радиус описанной окружности (R) по формуле: \( R = \frac{abc}{4S} \), где a, b, c — стороны треугольника, S — его площадь.
2. Шаг 2: Найдем высоту (h) треугольника, проведенную к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому она делит основание пополам. \( h = \sqrt{AB^2 - (AC/2)^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \) см.
3. Шаг 3: Вычислим площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2}  AC  h = \frac{1}{2}  24  16 = 12  16 = 192 \) см².
4. Шаг 4: Вычислим радиус описанной окружности: \( R = \frac{20  20  24}{4  192} = \frac{9600}{768} = 12.5 \) см.
5. Шаг 5: Найдем длину описанной окружности: \( L = 2\pi R = 2  \pi  12.5 = 25\pi \) см.

в) Площадь вписанного круга:

1. Шаг 1: Найдем радиус вписанной окружности (r) по формуле: \( r = \frac{S}{p} \), где S — площадь треугольника, p — полупериметр.
2. Шаг 2: Найдем полупериметр: \( p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{20 + 20 + 24}{2} = \frac{64}{2} = 32 \) см.
3. Шаг 3: Вычислим радиус вписанной окружности: \( r = \frac{192}{32} = 6 \) см.
4. Шаг 4: Найдем площадь вписанного круга: \( S_{круга} = \pi r^2 = \pi  6^2 = 36\pi \) см².

Ответ:

a) AB·AC = 288, BA·BC = 560, CA·CB = 288.

б) Длина описанной окружности равна \( 25\pi \) см.

в) Площадь вписанного круга равна \( 36\pi \) см².