Вариант Б2. 2. Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причём KP ∥ MN, EF ∥ AC. а) Докажите, что AC ∥ KP. б) Найдите KP и MN, если KP : MN = 3 : 5, AC = 16 см.

а) По условию EF ∥ AC. Поскольку EF — средняя линия трапеции KMNP, она параллельна её основаниям KP и MN. Значит, EF ∥ KP. Две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны друг другу, поэтому AC ∥ KP.

б) Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна: EF = AC / 2 = 8 см. EF также является средней линией трапеции, поэтому (KP + MN) / 2 = 8, откуда KP + MN = 16.

Отношение KP : MN = 3 : 5, значит, всего 8 равных долей. Одна доля равна 16 / 8 = 2 см. Тогда KP = 3 · 2 = 6 см, MN = 5 · 2 = 10 см.

Ответ: KP = 6 см, MN = 10 см.