3. Прямая CD проходит через вершину C треугольника ABC и не лежит в плоскости ABC. Точки E и F — середины отрезков AB и BC. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) Так как E и F — середины сторон AB и BC, то EF — средняя линия треугольника ABC, следовательно, EF ∥ AC. Прямая CD не лежит в плоскости ABC и пересекает эту плоскость только в точке C. При этом C не принадлежит EF, поскольку EF ∥ AC и не проходит через C. Значит, CD и EF не пересекаются. Они также не параллельны: EF лежит в плоскости ABC, а CD пересекает эту плоскость в точке C, не принадлежащей EF. Следовательно, прямые скрещиваются.

б) Поскольку EF ∥ AC, угол между CD и EF равен углу между CD и AC. По условию ∠DCA = 60°.

Ответ: а) CD и EF — скрещивающиеся; б) 60°.