Вариант 4 Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

1. Пусть a = 6 см, b = 4√2 см, γ = 135°.

По теореме косинусов найдем третью сторону треугольника:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$$ $$c^2 = 6^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot cos(135°)$$ $$c^2 = 36 + 32 - 48\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$$ $$c^2 = 68 + 48 = 116$$ $$c = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$$

Теперь найдем площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} ab \cdot sin(γ)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cdot sin(135°)$$ $$S = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12$$

Ответ: 2√29 см, 12 см²