Вариант I, задача 2: Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром A и радиусом, равным OC.

1. В ромбе ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны и делятся точкой пересечения O пополам. Следовательно, AO = OC, BO = OD и ∠AOB = 90°. 2. Окружность имеет центр в точке A и радиус, равный OC. Значит, радиус окружности равен AO. 3. Рассмотрим прямую BD. Точка O лежит на этой прямой. Расстояние от центра окружности A до прямой BD равно AO. 4. Поскольку ∠AOB = 90°, AO является перпендикуляром к прямой BD. Таким образом, расстояние от A до BD равно AO. 5. Так как расстояние от центра окружности (точка A) до прямой BD равно радиусу окружности (AO = OC), то прямая BD касается окружности с центром A и радиусом OC. Что и требовалось доказать.