Вариант I, задача 1: КМ и KN – отрезки касательных, проведённых из точки K к окружности с центром O. Найдите KM и KN, если OK = 12 см, ∠MON = 120°.

Поскольку KM и KN - отрезки касательных, проведённых из точки K к окружности с центром O, то OK является биссектрисой угла MON. Следовательно, ∠MOK = ∠KON = 120°/2 = 60°. Кроме того, касательные KM и KN перпендикулярны радиусам OM и ON соответственно. Поэтому треугольники OMK и ONK прямоугольные. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK. В нём ∠MOK = 60°, OK = 12 см. Нужно найти KM. Используем тангенс угла MOK: $$\tan(\angle MOK) = \frac{KM}{OM}$$ Отсюда KM = OM * tan(∠MOK). Чтобы найти OM, используем косинус угла MOK: $$\cos(\angle MOK) = \frac{OM}{OK}$$ Отсюда OM = OK * cos(∠MOK) = 12 * cos(60°) = 12 * (1/2) = 6 см. Теперь можем найти KM: KM = OM * tan(60°) = 6 * \sqrt{3} см. Так как треугольники OMK и ONK равны (по катету и острому углу), то KM = KN = 6\sqrt{3} см. Ответ: KM = KN = 6$$\sqrt{3}$$ см