Вариант II, задача 2: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром C и радиусом, равным AD.

1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медиана BD, проведённая к основанию AC, также является высотой и биссектрисой. Следовательно, BD ⊥ AC и ∠ABD = ∠CBD. 2. Окружность имеет центр в точке C и радиус, равный AD. Так как BD – медиана, то AD = DC. Значит, радиус окружности равен DC. 3. Рассмотрим прямую BD. Нам нужно доказать, что эта прямая касается окружности с центром C и радиусом DC. 4. Так как BD ⊥ AC, то CD – это расстояние от точки C до прямой BD. Это расстояние и есть радиус окружности. 5. Следовательно, прямая BD касается окружности с центром C и радиусом AD (DC). Что и требовалось доказать.