Вариант II, задача 1: Найдите отрезки касательных AB и AC, проведённых из точки A к окружности радиуса r, если r = 9 см, ∠BAC = 120°.

Пусть O – центр окружности. Тогда OB и OC – радиусы, проведённые в точки касания B и C соответственно. По условию, OB = OC = r = 9 см. Так как AB и AC – касательные, то OB ⊥ AB и OC ⊥ AC. ∠BAC = 120°. AO – биссектриса угла BAC, следовательно, ∠BAO = ∠CAO = 120°/2 = 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. В нём ∠ABO = 90°, ∠BAO = 60°, OB = 9 см. Нужно найти AB. Используем тангенс угла BAO: $$\tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AB}$$ Отсюда AB = OB / tan(∠BAO) = 9 / tan(60°) = 9 / \sqrt{3} = 9\sqrt{3} / 3 = 3\sqrt{3} см. Так как треугольники ABO и ACO равны (по катету и острому углу), то AB = AC = 3$$\sqrt{3}$$ см. Ответ: AB = AC = 3$$\sqrt{3}$$ см