Вариант II. 1. В параллелограмме ABCD диагональ BD = 6 см и образует со сторонами AD и DC углы по 60°. Найти: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма; в) периметр четырёхугольника ABMD, где точка M — середина DC.

Так как AD ∥ BC, угол между BD и BC также равен 60°. В треугольнике BCD угол при D равен 60°, угол при B равен 60°, поэтому и третий угол равен 60°. Треугольник BCD равносторонний: BC = CD = BD = 6 см.

В параллелограмме AB = CD = 6 см, AD = BC = 6 см. Следовательно, он является ромбом. Его углы равны 60° и 120°, а периметр равен 4 · 6 = 24 см.

Так как M — середина DC, DM = 3 см. В треугольнике ADM стороны AD = 6 см и DM = 3 см образуют угол 120°. По теореме косинусов: AM² = 6² + 3² − 2 · 6 · 3 · cos 120° = 63, значит, AM = 3√7 см. Периметр ABMD: AB + BM + MD + DA. Здесь BM = 3√7 см (поскольку в равностороннем треугольнике BCD медиана BM равна 3√3? Уточнение: BM — медиана к CD в равностороннем треугольнике, значит BM = 3√3 см).

Итак, P_ABMD = 6 + 3√3 + 3 + 6 = 15 + 3√3 см.

Ответ: а) 60° и 120°; б) 24 см; в) 15 + 3√3 см.