Вариант II, 3. Докажи, что: а) точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон; б) точка пересечения диагоналей прямоугольника является центром описанной около него окружности.

а) Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому O лежит на биссектрисах всех четырёх углов. Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Следовательно, расстояния от O до каждой пары соседних сторон равны; применяя это к четырём углам, получаем, что O равноудалена от всех сторон ромба.

б) Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Диагонали прямоугольника равны, поэтому их половины тоже равны. Значит, точка O пересечения диагоналей равноудалена от всех четырёх вершин. Окружность с центром O и радиусом, равным расстоянию до любой вершины, проходит через все вершины прямоугольника. Следовательно, O — центр описанной около него окружности.