Вариант II. Часть Б. 1) Отрезок KA — перпендикуляр к плоскости прямоугольника ABCD. Точка O — пересечение AC и BD. KO перпендикулярно BD. а) Докажите, что ABCD — квадрат. б) Докажите перпендикулярность плоскостей KBD и KOA. в) Найдите площадь прямоугольника ABCD, если KO = 5, KA = 3, угол BKD равен 90°.

а) В прямоугольнике O — середина диагоналей, поэтому AO = CO. Условие KO ⟂ BD означает, что в прямоугольном треугольнике KAO проекция KO на плоскость прямоугольника перпендикулярна BD. В координатах A(0,0), B(b,0), D(0,d), O(b/2,d/2) это даёт b² = d². Следовательно, AB = AD и ABCD — квадрат.

б) KO лежит в плоскости KOA, а BD — в плоскости KBD. При этом KO ⟂ BD; также KA перпендикулярен плоскости ABCD, следовательно, KA ⟂ BD. Значит, BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым KO и KA плоскости KOA, откуда KBD ⟂ KOA.

в) Данные противоречивы. Поскольку KA ⟂ плоскости ABCD, для перпендикулярных сторон AB и AD имеем KB · KD = KA² = 9, то есть угол BKD не может быть 90°. Дополнительно, из KO = 5 и KA = 3 следует AO = 4, а для квадрата его сторона равна 4√2 и площадь равна 32. Однако при этих данных угол BKD не прямой.

Ответ: условия пункта в) несовместимы; при использовании KO = 5, KA = 3 и остальных геометрических условий площадь равна 32, но ∠BKD ≠ 90°.