Вариант ІІ 1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 136 см, а его измерения относятся как 16:18:24. Найдите: - измерения параллелепипеда; - синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

1. Пусть измерения параллелепипеда будут $$16x$$, $$18x$$ и $$24x$$. Тогда диагональ $$d$$ находится по формуле:

$$d = \sqrt{(16x)^2 + (18x)^2 + (24x)^2} = \sqrt{256x^2 + 324x^2 + 576x^2} = \sqrt{1156x^2} = 34x$$

Из условия $$d = 136$$, следовательно, $$34x = 136$$, откуда $$x = 4$$.

Тогда измерения параллелепипеда равны:

• $$16 \cdot 4 = 64 \text{ см}$$
• $$18 \cdot 4 = 72 \text{ см}$$
• $$24 \cdot 4 = 96 \text{ см}$$

Обозначим измерения как $$a = 64$$, $$b = 72$$, $$c = 96$$.

2. Пусть $$\alpha$$ - угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания. Тогда синус этого угла равен отношению высоты параллелепипеда к длине диагонали параллелепипеда:

$$\sin \alpha = \frac{c}{d} = \frac{96}{136} = \frac{12}{17}$$

Ответ: Измерения параллелепипеда: 64 см, 72 см, 96 см; Синус угла: $$\frac{12}{17}$$