Вариант III. Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD делит пополам угол BAD. Найдите периметр трапеции, если основание AD равно 12 см, а угол ADC равен 60°.

Так как трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны. Поэтому \(\angle BAD=\angle ADC=60^\circ\).

Диагональ AC делит угол BAD пополам, значит \(\angle BAC=\angle CAD=30^\circ\).

Рассмотрим горизонтальные проекции боковых сторон. Пусть проекция каждой боковой стороны равна \(x\). Тогда высота трапеции равна \(x\tan60^\circ=x\sqrt3\).

Для диагонали AC:

\(\tan30^\circ=\frac{x\sqrt3}{12-x}\).

\(\frac1{\sqrt3}=\frac{x\sqrt3}{12-x}\), откуда \(12-x=3x\), поэтому \(x=3\) см.

Боковая сторона:

\(l=\frac{x}{\cos60^\circ}=\frac{3}{0.5}=6\) см.

Меньшее основание:

\(BC=12-2x=12-6=6\) см.

Периметр:

\(P=AD+BC+2l=12+6+2\cdot6=30\) см.

Ответ: 30 см.