Вариант В2. 1) Дано: ∠BOC = 30°, ∠AOC = 78°, ∠BOD = 69°. Найти: ∠AOD. 2) Между сторонами угла AOB, равного 120°, проходит луч OC. Найдите ∠AOC и ∠COB, если разность этих углов составляет 1/4 их суммы. 3) Какое наименьшее число лучей можно провести из одной точки, чтобы все углы, образованные соседними лучами, были острыми?

1) По рисунку лучи расположены в порядке A, B, C, D внутри ∠AOD. ∠COD = ∠BOD − ∠BOC = 69° − 30° = 39°. Тогда ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 78° + 39° = 117°.

2) Сумма углов равна 120°, а их разность составляет 120° ÷ 4 = 30°. Больший угол равен (120° + 30°) ÷ 2 = 75°, меньший — 45°. Поскольку условие не определяет, какой из углов больше, возможны оба ответа.

Ответ: (∠AOC, ∠COB) = (75°, 45°) или (45°, 75°).

3) Углы между соседними лучами вокруг точки в сумме дают 360°. Чтобы каждый был острым, их должно быть больше четырёх: при четырёх углах сумма не могла бы достичь 360°, если каждый меньше 90°. Пять равных углов по 72° подходят.

Ответ: 5 лучей.