Вероятность того, что на аппарате загорится зелёный свет, равна 0,4. Найдите вероятность того, что в семи запусках аппарата ровно три раза загорится зелёный свет.

Это задача на биномиальное распределение. У нас есть 7 испытаний (запусков аппарата), вероятность успеха (загорания зелёного света) в каждом испытании равна 0.4, и мы хотим найти вероятность ровно 3 успехов. Формула биномиального распределения: $$P(k \text{ успехов в } n \text{ испытаниях}) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$ где: - $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ - количество сочетаний из $$n$$ по $$k$$, - $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании, - $$n$$ - общее количество испытаний, - $$k$$ - количество успешных испытаний. В нашем случае: - $$n = 7$$, - $$k = 3$$, - $$p = 0.4$$. 1. Считаем количество сочетаний: $$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$ 2. Считаем вероятность 3 успехов и 4 неудач: $$p^k \cdot (1-p)^{n-k} = 0.4^3 \cdot (1-0.4)^{7-3} = 0.4^3 \cdot 0.6^4 = 0.064 \cdot 0.1296 = 0.0082944$$ 3. Умножаем количество сочетаний на вероятность: $$P(3) = 35 \cdot 0.0082944 = 0.290304$$ Ответ: Вероятность того, что в семи запусках аппарата ровно три раза загорится зелёный свет, равна 0.290304