VI) Средняя линия трапеции 37. В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны, CH – высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 22, а меньшее основание BC равно 10.

Решение:

В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны. Такая трапеция называется равнобедренной.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$KM = rac{BC+AD}{2}$$.

По условию $$KM = 22$$ и $$BC = 10$$. Найдем большее основание AD:

$$ 22 = \frac{10+AD}{2} $$

$$ 44 = 10+AD $$

$$ AD = 44 - 10 $$

$$ AD = 34 $$

CH – высота, проведённая к большему основанию AD. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин верхнего основания на нижнее, делят нижнее основание на три отрезка: два равных крайних отрезка и средний отрезок, равный верхнему основанию.

Пусть высота, опущенная из B на AD, будет BK. Тогда $$AD = AK + KH + HD$$. В равнобедренной трапеции $$AK = HD$$. И $$KH = BC$$.

Таким образом, $$AD = AK + BC + HD$$.

Так как $$AK = HD$$, то $$AD = 2 · HD + BC$$.

Подставим известные значения:

$$ 34 = 2 · HD + 10 $$

$$ 34 - 10 = 2 · HD $$

$$ 24 = 2 · HD $$

$$ HD = \frac{24}{2} $$

$$ HD = 12 $$

Ответ: 12