7. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Ответ: в 2 раза

Шаг 1: Пусть радиус окружности равен \(R\). Тогда сторона описанного квадрата равна \(2R\), и его площадь равна \((2R)^2 = 4R^2\).

Шаг 2: Диагональ вписанного квадрата равна диаметру окружности, то есть \(2R\). Если сторона вписанного квадрата равна \(a\), то по теореме Пифагора \(a^2 + a^2 = (2R)^2\), следовательно, \(2a^2 = 4R^2\), и \(a^2 = 2R^2\). Таким образом, площадь вписанного квадрата равна \(2R^2\).

Шаг 3: Находим отношение площади описанного квадрата к площади вписанного квадрата:\[\frac{4R^2}{2R^2} = 2\]

Ответ: в 2 раза