Вопросы для повторения к главе V. 11. Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.

Три признака параллелограмма:

1. Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то четырёхугольник — параллелограмм. Действительно, диагональ делит его на два треугольника. Они равны по общей диагонали, равным сторонам и углу между ними (параллельные стороны дают равные накрест лежащие углы). Отсюда следуют равенства накрест лежащих углов при второй паре сторон, значит, и эта пара сторон параллельна.
2. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то он — параллелограмм. Проведём диагональ. Получившиеся треугольники равны по трём сторонам. Равенство соответствующих накрест лежащих углов доказывает параллельность каждой пары противоположных сторон.
3. Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. В треугольниках, образованных диагоналями, пары вертикальных углов равны, а отрезки каждой диагонали по обе стороны от точки пересечения равны. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам; соответствующие накрест лежащие углы показывают, что противоположные стороны попарно параллельны.