Вопросы для повторения к главе V. 5. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Пусть внутренние углы выпуклого n-угольника равны \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\). Внешний угол при каждой вершине смежен с внутренним, поэтому его величина равна \(180^\circ-\alpha_i\).

Сумма внешних углов равна \(n\cdot180^\circ-\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\). По формуле суммы внутренних углов \(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i=(n-2)\cdot180^\circ\). Следовательно, сумма внешних углов равна \(n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=360^\circ\).

Что и требовалось доказать.