Вопросы для повторения к главе V. 9. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Рассмотрим параллелограмм ABCD и проведём диагональ AC. Так как AB ∥ CD и BC ∥ AD, то при секущей AC накрест лежащие углы равны: ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC. Кроме того, AC — общая сторона.

Значит, треугольники BAC и DCA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда AB = CD и BC = DA. Из равенства треугольников также следует равенство углов при вершинах B и D. Углы A и B смежные, как и углы B и C; следовательно, ∠A = 180° − ∠B и ∠C = 180° − ∠B, то есть ∠A = ∠C.

Что и требовалось доказать.