10. Воспользуйтесь методом замены переменной и решите уравне- ние \(\frac{6}{(x-1)(x-2)} + \frac{8}{(x+1)(x-4)} = 1\).

Преобразуем уравнение:

\(\frac{6}{(x-1)(x-2)} + \frac{8}{(x+1)(x-4)} = 1\)

\(\frac{6}{x^2 - 3x + 2} + \frac{8}{x^2 - 3x - 4} = 1\)

Пусть \(t = x^2 - 3x\), тогда уравнение примет вид:

\(\frac{6}{t + 2} + \frac{8}{t - 4} = 1\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{6(t-4) + 8(t+2)}{(t+2)(t-4)} = 1\)

\(\frac{6t - 24 + 8t + 16}{t^2 - 2t - 8} = 1\)

\(\frac{14t - 8}{t^2 - 2t - 8} = 1\)

\(14t - 8 = t^2 - 2t - 8\)

\(t^2 - 16t = 0\)

\(t(t - 16) = 0\)

Тогда, либо t = 0, либо t = 16.

1) t = 0:

\(x^2 - 3x = 0\)

\(x(x - 3) = 0\)

Тогда, x = 0 или x = 3.

2) t = 16:

\(x^2 - 3x = 16\)

\(x^2 - 3x - 16 = 0\)

Решим квадратное уравнение:

\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 9 + 64 = 73\)

\(x_1 = \frac{3 + \sqrt{73}}{2}\)

\(x_2 = \frac{3 - \sqrt{73}}{2}\)

Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль:

x = 0: \((x-1)(x-2) = 2 ≠ 0\), \((x+1)(x-4) = -4 ≠ 0\)

x = 3: \((x-1)(x-2) = 2 ≠ 0\), \((x+1)(x-4) = -4 ≠ 0\)

Для x = \(\frac{3 + \sqrt{73}}{2}\) и x = \(\frac{3 - \sqrt{73}}{2}\) знаменатели также не обращаются в ноль.

Ответ: x = 0, x = 3, x = \(\frac{3 + \sqrt{73}}{2}\), x = \(\frac{3 - \sqrt{73}}{2}\)