5.Вычислите 5¹⁰ᵍ₁₅ 4. 3log₁₅ 4 + log₉ 64. log₄ 9.

Для решения данного выражения воспользуемся различными свойствами логарифмов.

1. Упростим первое слагаемое: $$5^{log_{15} 4} \cdot 3^{log_{15} 4}$$. Преобразуем основания к виду $$15^{log_{15} x}$$:$$5^{log_{15} 4} = (15^{\frac{log_{15} 5 \cdot log_{15} 4}{log_{15} 5}})^{log_{15} 4} = 15^{log_{15} 4 \cdot log_{15} 5}$$$$3^{log_{15} 4} = (15^{\frac{log_{15} 3 \cdot log_{15} 4}{log_{15} 3}})^{log_{15} 4} = 15^{log_{15} 4 \cdot log_{15} 3}$$.Тогда первое слагаемое равно:$$15^{log_{15} 4 \cdot log_{15} 5} \cdot 15^{log_{15} 4 \cdot log_{15} 3} = 15^{log_{15} 4 (log_{15} 5 + log_{15} 3)}$$Так как $$log_{15} 5 + log_{15} 3 = log_{15} (5 \cdot 3) = log_{15} 15 = 1$$, то первое слагаемое равно: $$15^{log_{15} 4} = 4$$.
2. Упростим второе слагаемое: $$log_9 64 \cdot log_4 9$$Воспользуемся формулой перехода к другому основанию: $$log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$$. Перейдем к основанию 2:$$log_9 64 = \frac{log_2 64}{log_2 9} = \frac{6}{log_2 9}$$$$log_4 9 = \frac{log_2 9}{log_2 4} = \frac{log_2 9}{2}$$.Тогда второе слагаемое равно:$$\frac{6}{log_2 9} \cdot \frac{log_2 9}{2} = 3$$
3. Вычислим сумму:$$4 + 3 = 7$$

Ответ: 7