Вычислите: а) \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \); б) \( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \)

Решение:

1. а) \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \)
   Используем свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \[ \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 = 36 \]
2. б) \( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \)
   Преобразуем знаменатель:
   \[ 9 = 3^2 \]
   \[ 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \]
   Теперь подставим это в дробь:
   \[ \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7} = \frac{5^{3 \cdot 5} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^{2 \cdot 7} \cdot 5^{2 \cdot 7})} = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14}} \]
   Используем свойства степеней:
   \[ \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{2+14} \cdot 5^{14}} = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \]
   Сократим:
   \[ 5^{15-14} \cdot 3^{16-16} = 5^1 \cdot 3^0 = 5 \cdot 1 = 5 \]

Ответ: а) 36; б) 5.