Вычислите: а) \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \); б) \( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \).

Решение:

а) Вычислим \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \)

Используем свойства степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Сложим степени в числителе:
\( 6^{15} \cdot 6^{11} = 6^{15+11} = 6^{26} \)
2. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель:
\( \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 \)
3. Возведем в степень:
\( 6^2 = 36 \)б) Вычислим \( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \)
1. Упростим числитель, используя свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
\( (5^3)^5 = 5^{3 \cdot 5} = 5^{15} \)
2. Разложим знаменатель на простые множители. Заметим, что \( 9 = 3^2 \) и \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \).
3. Подставим разложения в знаменатель:
\( 9 \cdot 225^7 = 3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7 = 3^2 \cdot (3^{2 \cdot 7} \cdot 5^{2 \cdot 7}) = 3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14} \)
4. Применим свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) к степеням с основанием 3:
\( 3^2 \cdot 3^{14} = 3^{2+14} = 3^{16} \)
5. Теперь выражение в знаменателе выглядит так:
\( 3^{16} \cdot 5^{14} \)
6. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
\( \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \)
7. Сократим дробь, используя свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). Сократим \( 3^{16} \) и вычтем степени у пятерок:
\( 5^{15-14} = 5^1 \)
8. Возведем в степень:
\( 5^1 = 5 \)

Ответ: а) 36; б) 5.