Выполните действия: а) \( \frac{2a+10}{3b-9} \cdot \frac{4b-12}{a+5} \); б) \( \frac{5x+2}{3} + \frac{3x-1}{5} = 5 \).

Решение:

а) Выполним умножение дробей: \( \frac{2a+10}{3b-9} \cdot \frac{4b-12}{a+5} \)

1. Разложим числители и знаменатели на множители:
\( 2a+10 = 2(a+5) \)
\( 3b-9 = 3(b-3) \)
\( 4b-12 = 4(b-3) \)
2. Подставим разложенные выражения в дробь:
\( \frac{2(a+5)}{3(b-3)} \cdot \frac{4(b-3)}{a+5} \)
3. Сократим дробь, убрав общие множители \( (a+5) \) и \( (b-3) \) (при условии \( a \neq -5 \) и \( b \neq 3 \)):
\( \frac{2 \cancel{(a+5)}}{3 \cancel{(b-3)}} \cdot \frac{4 \cancel{(b-3)}}{\cancel{(a+5)}} = \frac{2 \cdot 4}{3} \)
4. Выполним умножение:
\( \frac{8}{3} \)б) Решим уравнение: \( \frac{5x+2}{3} + \frac{3x-1}{5} = 5 \)
1. Найдем общий знаменатель для дробей, который равен 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5).
2. Умножим обе части уравнения на 15, чтобы избавиться от дробей:
\( 15 \cdot \left( \frac{5x+2}{3} + \frac{3x-1}{5} \right) = 15 \cdot 5 \)
3. Распределим умножение:
\( 15 \cdot \frac{5x+2}{3} + 15 \cdot \frac{3x-1}{5} = 75 \)
\( 5(5x+2) + 3(3x-1) = 75 \)
4. Раскроем скобки:
\( 25x + 10 + 9x - 3 = 75 \)
5. Приведём подобные слагаемые:
\( 34x + 7 = 75 \)
6. Перенесём число 7 в правую часть уравнения:
\( 34x = 75 - 7 \)
\( 34x = 68 \)
7. Разделим обе части на 34, чтобы найти \( x \):
\( x = \frac{68}{34} \)
\( x = 2 \)

Ответ: а) \( \frac{8}{3} \); б) \( x = 2 \).