Вычислите: d. (от 8 класса, 1 балл) \(\frac{49^{11} \cdot 32^4}{196^{12}}\)

Решение:

Представим числа в виде степеней простых множителей:

\( 49 = 7^2 \)

\( 32 = 2^5 \)

\( 196 = 4 \cdot 49 = 2^2 \cdot 7^2 \)

Подставим в выражение:

\( \frac{(7^2)^{11} \cdot (2^5)^4}{(2^2 \cdot 7^2)^{12}} = \frac{7^{2 \cdot 11} \cdot 2^{5 \cdot 4}}{2^{2 \cdot 12} \cdot 7^{2 \cdot 12}} = \frac{7^{22} \cdot 2^{20}}{2^{24} \cdot 7^{24}} \)

Теперь упростим, используя правило \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( 7^{22-24} \cdot 2^{20-24} = 7^{-2} \cdot 2^{-4} = \frac{1}{7^2} \cdot \frac{1}{2^4} = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{49 \cdot 16} \)

\( 49 \cdot 16 = 49 \cdot (10 + 6) = 490 + 49 \cdot 6 = 490 + 294 = 784 \)

Ответ: \(\frac{1}{784}\)