Вычислите: \( \frac{2^{-6} \cdot 4^{-3}}{8^{-7}} \)

Решение:

Чтобы вычислить значение выражения, представим все числа в виде степени двойки:

• \( 4 = 2^2 \)
• \( 8 = 2^3 \)

Подставим эти значения в выражение:

\[ \frac{2^{-6} \cdot (2^2)^{-3}}{(2^3)^{-7}} = \frac{2^{-6} \cdot 2^{2 \times (-3)}}{2^{3 \times (-7)}} = \frac{2^{-6} \cdot 2^{-6}}{2^{-21}} \]

Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе:

\[ \frac{2^{-6 + (-6)}}{2^{-21}} = \frac{2^{-12}}{2^{-21}} \]

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 2^{-12 - (-21)} = 2^{-12 + 21} = 2^9 \]

Вычислим значение \( 2^9 \):

\[ 2^9 = 512 \]

Ответ: \( 512 \).