3. Вычислите косинус угла между векторами \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\), если \(\overrightarrow{p} \{-12:5\}\), \(\overrightarrow{q} \{3;4\}\).

3. Вычислим косинус угла между векторами \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\), если \(\overrightarrow{p} \{-12:5\}\), \(\overrightarrow{q} \{3;4\}\).

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$$cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}| \cdot |\overrightarrow{q}|}$$

Сначала найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\):

$$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} = p_x \cdot q_x + p_y \cdot q_y = (-12) \cdot 3 + 5 \cdot 4 = -36 + 20 = -16$$

Теперь найдем длины векторов \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\):

$$|\overrightarrow{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ $$|\overrightarrow{q}| = \sqrt{q_x^2 + q_y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Тогда:

$$cos(\alpha) = \frac{-16}{13 \cdot 5} = -\frac{16}{65}$$

Ответ: $$\displaystyle -\frac{16}{65}$$