Вычислите значение каждой из тригонометрических функций, если sin α = \frac{5}{13} и \frac{3\pi}{2} < α <2\pi.

Ответ: cos α = \(\frac{12}{13}\), tg α = -\(\frac{5}{12}\), ctg α = -\(\frac{12}{5}\)

Дано: sin α = \(\frac{5}{13}\), \(\frac{3\pi}{2}\) < α < 2\(\pi\).

Найти: cos α, tg α, ctg α.

Решение:

• Так как sin² α + cos² α = 1, то cos² α = 1 - sin² α = 1 - \((\frac{5}{13})^2\) = 1 - \(\frac{25}{169}\) = \(\frac{144}{169}\).
• Извлекаем квадратный корень: cos α = ±\(\sqrt{\frac{144}{169}}\) = ±\(\frac{12}{13}\).
• Учитывая, что \(\frac{3\pi}{2}\) < α < 2\(\pi\) (IV четверть), cos α > 0, поэтому cos α = \(\frac{12}{13}\).
• Тангенс tg α = \(\frac{sin α}{cos α}\) = \(\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}\) = -\(\frac{5}{12}\). (в IV четверти тангенс отрицателен).
• Котангенс ctg α = \(\frac{cos α}{sin α}\) = \(\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}\) = -\(\frac{12}{5}\). (в IV четверти котангенс отрицателен).

Ответ: cos α = \(\frac{12}{13}\), tg α = -\(\frac{5}{12}\), ctg α = -\(\frac{12}{5}\)