3. Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части AD=16 см и BD=9 см. Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику CBD, и найдите высоту CD.

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, CD - высота, AD = 16 см, BD = 9 см.

Доказать: Треугольник ACD подобен треугольнику CBD.

Найти: Высоту CD.

Доказательство:

1. \( \angle ADC = 90^{\circ} \) и \( \angle CDB = 90^{\circ} \) (так как CD - высота)
2. \( \angle ACD = 90^{\circ} - \angle A \) (сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов)
3. \( \angle BCD = 90^{\circ} - \angle B \)
4. Т.к. \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \), то \( \angle B = 90^{\circ} - \angle A \)
5. Следовательно, \( \angle BCD = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \angle A) = \angle A \)
6. Итак, в треугольниках ACD и CBD: \( \angle ADC = \angle CDB = 90^{\circ} \) и \( \angle BCD = \angle A \). Значит, треугольники ACD и CBD подобны по двум углам.

Найдем высоту CD:

Из подобия треугольников следует, что $$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD}$$, следовательно, $$CD^2 = AD \cdot BD = 16 \cdot 9 = 144$$.

$$CD = \sqrt{144} = 12$$ см.

Ответ: Треугольник ACD подобен треугольнику CBD, высота CD = 12 см.