3. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых 16 см, а другой 9 см. Найдите стороны данного треугольника и площадь.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Высота, проведенная из вершины C, делит гипотенузу AB на отрезки AH = 16 см и BH = 9 см. Тогда гипотенуза AB = AH + BH = 16 + 9 = 25 см. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике: ( CH^2 = AH * BH ) ( CH^2 = 16 * 9 = 144 ) ( CH = \sqrt{144} = 12 ) см Теперь найдем катеты AC и BC, используя теорему Пифагора для треугольников ACH и BCH: ( AC^2 = AH^2 + CH^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400 ) ( AC = \sqrt{400} = 20 ) см ( BC^2 = BH^2 + CH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 ) ( BC = \sqrt{225} = 15 ) см Площадь треугольника ABC можно найти как половину произведения катетов: ( S = \frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * 20 * 15 = 150 ) кв. см Ответ: Катеты равны 20 см и 15 см, площадь равна 150 кв. см.