7. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°.

Ответ: ∠A = 40°, ∠B = ∠C = 70°

1. Обозначим высоты: Пусть высоты, проведенные из B и C, пересекаются в точке M, а основания высот на сторонах AC и AB соответственно - точки D и E.
2. Рассмотрим четырёхугольник ADME: В четырёхугольнике ADME углы ∠ADE и ∠AEM - прямые (90°), так как BD и CE - высоты.
3. Найдем угол ∠DAE: ∠DAE = 180° - ∠DME
4. Угол ∠BMC и ∠DME вертикальные, значит, равны: ∠DME = 140°
5. Найдем ∠DAE: ∠DAE = 180° - 140° = 40°
6. Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB
7. Найдем ∠ABC и ∠ACB: ∠ABC = ∠ACB = (180° - 40°) / 2 = 70°

Ответ: ∠A = 40°, ∠B = ∠C = 70°