Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько: a) \( \begin{cases} 3x - y = 5, \\ 6x + 2y = 10; \end{cases} \) b) \( \begin{cases} 3x - y = 5, \\ 15x - 5y = 25; \end{cases} \) v) \( \begin{cases} 3x - y = 5, \\ 9x - 3y = 1. \end{cases} \)

Разбираемся: а) \( \begin{cases} 3x - y = 5, \\ 6x + 2y = 10; \end{cases} \) Умножим первое уравнение на 2: 6x - 2y = 10. Второе уравнение не изменилось: 6x + 2y = 10. Эти два уравнения представляют собой две разные прямые, и они пересекаются в одной точке. Чтобы это показать, можно выразить y из каждого уравнения: \( y = 3x - 5 \\ y = -3x + 5 \) Так как угловые коэффициенты (3 и -3) разные, прямые пересекаются. Система имеет одно решение. b) \( \begin{cases} 3x - y = 5, \\ 15x - 5y = 25; \end{cases} \) Умножим первое уравнение на 5: 15x - 5y = 25. Второе уравнение такое же: 15x - 5y = 25. Эти два уравнения одинаковы, значит, это одна и та же прямая. Система имеет бесконечно много решений. v) \( \begin{cases} 3x - y = 5, \\ 9x - 3y = 1. \end{cases} \) Умножим первое уравнение на 3: 9x - 3y = 15. Второе уравнение: 9x - 3y = 1. Эти уравнения представляют собой параллельные прямые, так как левые части одинаковые, а правые - разные. Система не имеет решений.

Ответ:

a) Система имеет одно решение.

б) Система имеет бесконечно много решений.

в) Система не имеет решений.