3x²-5x+4 5. limx→∞ x²+2x+3

Чтобы вычислить предел функции $$lim_{x\to a} f(x)$$, нужно подставить значение $$a$$ в функцию $$f(x)$$. Если получается конечное число, то это и есть предел функции. Если получается неопределенность, то нужно преобразовать функцию, чтобы избавиться от неопределенности.

1. Подставим значение $$x = \infty$$ в функцию $$\frac{3x^2 - 5x + 4}{x^2 + 2x + 3}$$.

$$\frac{3 \cdot \infty^2 - 5 \cdot \infty + 4}{\infty^2 + 2 \cdot \infty + 3} = \frac{\infty}{\infty}$$

Получили неопределенность вида $$\frac{\infty}{\infty}$$. Разделим числитель и знаменатель на $$x^2$$.

1. Преобразуем функцию:

$$\frac{3x^2 - 5x + 4}{x^2 + 2x + 3} = \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{4}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{3}{x^2}} = \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}$$$$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0 + 0} = \frac{3}{1} = 3$$

Ответ: 3