x²+y² = 37, 4. Решите систему уравнений (ху = 6.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 37 \\ xy = 6 \end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения:

$$y = \frac{6}{x}$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 37$$ $$x^2 + \frac{36}{x^2} = 37$$ $$x^4 + 36 = 37x^2$$ $$x^4 - 37x^2 + 36 = 0$$

Пусть $$z = x^2$$, тогда:

$$z^2 - 37z + 36 = 0$$ $$z = \frac{37 \pm \sqrt{37^2 - 4(1)(36)}}{2(1)} = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 144}}{2} = \frac{37 \pm \sqrt{1225}}{2} = \frac{37 \pm 35}{2}$$ $$z_1 = \frac{37 + 35}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ $$z_2 = \frac{37 - 35}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Теперь найдем x и y:

Если z = 36:

$$x^2 = 36$$ $$x = \pm 6$$

Если x = 6:

$$y = \frac{6}{6} = 1$$

Если x = -6:

$$y = \frac{6}{-6} = -1$$

Если z = 1:

$$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$

Если x = 1:

$$y = \frac{6}{1} = 6$$

Если x = -1:

$$y = \frac{6}{-1} = -6$$

Ответ:

x = 6, y = 1; x = -6, y = -1; x = 1, y = 6; x = -1, y = -6

Ответ: x = 6, y = 1; x = -6, y = -1; x = 1, y = 6; x = -1, y = -6