3x + 5y + z = 2 52x-y+2z = 1 -x+3y-3z = -4

5. Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 3x + 5y + z = 2 \\ 2x - y + 2z = 1 \\ -x + 3y - 3z = -4 \end{cases}$$

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

$$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & -3 & -4 \end{pmatrix}$$

Поменяем местами первую и третью строки:

$$\begin{pmatrix} -1 & 3 & -3 & -4 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Умножим первую строку на -1:

$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 & 4 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразования: R2 = R2 - 2R1, R3 = R3 - 3R1:

$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -4 & -7 \\ 0 & 14 & -8 & -10 \end{pmatrix}$$

Умножим вторую строку на 14, третью на 5:

$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 & 4 \\ 0 & 70 & -56 & -98 \\ 0 & 70 & -40 & -50 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразование R3 = R3 - R2:

$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 & 4 \\ 0 & 70 & -56 & -98 \\ 0 & 0 & 16 & 48 \end{pmatrix}$$

Разделим третью строку на 16:

$$\begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 & 4 \\ 0 & 70 & -56 & -98 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Из третьего уравнения имеем z = 3. Подставим в другие уравнения:

$$\begin{cases} x - 3y + 3(3) = 4 \\ 70y - 56(3) = -98 \\ z = 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x - 3y = -5 \\ 70y = 70 \\ z = 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x - 3(1) = -5 \\ y = 1 \\ z = 3 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = -2 \\ y = 1 \\ z = 3 \end{cases}$$

Ответ: x = -2, y = 1, z = 3