3x-2y+2z = 3 11x+2y-5z = 3 - 4x+y+2z = -3

11. Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 3x - 2y + 2z = 3 \\ x + 2y - 5z = 3 \\ -4x + y + 2z = -3 \end{cases}$$

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

$$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & -5 & 3 \\ -4 & 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$$

Поменяем местами первую и вторую строки:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & -2 & 2 & 3 \\ -4 & 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразования: R2 = R2 - 3R1, R3 = R3 + 4R1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & 3 \\ 0 & -8 & 17 & -6 \\ 0 & 9 & -18 & 9 \end{pmatrix}$$

Разделим третью строку на 9:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & 3 \\ 0 & -8 & 17 & -6 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Поменяем местами вторую и третью строки:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & -8 & 17 & -6 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразование: R3 = R3 + 8R2:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Из третьего уравнения имеем z = 2. Подставим в другие уравнения:

$$\begin{cases} x + 2y - 5(2) = 3 \\ y - 2(2) = 1 \\ z = 2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x + 2y = 13 \\ y = 5 \\ z = 2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x + 2(5) = 13 \\ y = 5 \\ z = 2 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \\ z = 2 \end{cases}$$

Ответ: x = 3, y = 5, z = 2