3x-6y-z=1 4-x+2y+z = -3 2x + y + 3z = -4

4. Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 3x-6y-z=1 \\ -x+2y+z = -3 \\ 2x + y + 3z = -4 \end{cases}$$

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

$$\begin{pmatrix} 3 & -6 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & 3 & -4 \end{pmatrix}$$

Поменяем местами первую и вторую строки:

$$\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & -3 \\ 3 & -6 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & -4 \end{pmatrix}$$

Умножим первую строку на -1:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 \\ 3 & -6 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & -4 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразования: R2 = R2 - 3R1, R3 = R3 - 2R1:

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & -8 \\ 0 & 5 & 5 & -10 \end{pmatrix}$$

Поменяем местами второй и третий столбцы:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & -8 \\ 0 & 5 & 5 & -10 \end{pmatrix}$$

Разделим вторую строку на 2:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 5 & 5 & -10 \end{pmatrix}$$

Выполним преобразование: R3 = R3 - 5R2:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{pmatrix}$$

Разделим третью строку на 5:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Возвращаемся к исходным переменным. Получаем систему:

$$\begin{cases} x - z - 2y = 3 \\ y = -4 \\ z = 2 \end{cases}$$

Подставляем y = -4 и z = 2 в первое уравнение:

$$x - 2 - 2(-4) = 3$$ $$x - 2 + 8 = 3$$ $$x + 6 = 3$$ $$x = -3$$

Решение системы: x = -3, y = -4, z = 2

Ответ: x = -3, y = -4, z = 2