3x-2y+2z = 5 12 5x+y-3z = -6 -2x+2y-z=1

12. Дана система уравнений:

$$\begin{cases} 3x - 2y + 2z = 5 \\ 5x + y - 3z = -6 \\ -2x + 2y - z = 1 \end{cases}$$

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

$$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 & 5 \\ 5 & 1 & -3 & -6 \\ -2 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Умножим первую строку на 5, вторую на -3, сложим:

$$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 & 5 \\ - & 13 & -19 & -33 \\ -2 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Умножим третью строку на 13 и вторую на 2, сложим:

$$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 & 5 \\ 5 & 1 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & -41 & -53 \end{pmatrix}$$

Выразим z из третьего уравнения:

$$-41z = -53$$ $$z = 53/41$$

Подставим z во второе уравнение:

$$5x + y - 3(53/41) = -6$$ $$5x + y = -6 + 159/41 = -87/41$$

Подставим z в первое уравнение:

$$3x - 2y + 2(53/41) = 5$$ $$3x - 2y = 5 - 106/41 = 99/41$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 5x + y = -87/41 \\ 3x - 2y = 99/41 \end{cases}$$

Умножим первое на 2, сложим:

$$13x = -174/41 + 99/41 = -75/41$$ $$x = -75/533$$

Тогда

$$y = -87/41 - 5(-75/533) = -87/41 + 375/533$$ $$y = (-11379 + 15375) / 533 = 3996/533$$ $$y = 307/41$$

Ответ: x = -75/533, y = -307/41, z = 53/41