10. З точки М, що лежить поза колом, проведено до кола дві дотичні MA і MB, де A і B – точки дотику, \(\angle MBA = 60^\circ\). Знайдіть відстань від точки M до центра кола, якщо радіус кола дорівнює 10 см.

Нехай O - центр кола. Оскільки MA - дотична до кола в точці A, то \(OA \perp MA\). Аналогічно, \(OB \perp MB\). Розглянемо чотирикутник MAOB. Сума кутів чотирикутника дорівнює \(360^\circ\). Отже, \(\angle AOB = 360^\circ - \angle OAM - \angle OBM - \angle AMB\). Оскільки \(\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ\), то \(\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle AMB = 180^\circ - \angle AMB\). Трикутник \(\triangle OMB\) - прямокутний, і \(\angle OMB = 90^\circ - \angle MBA = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). З прямокутного трикутника \(\triangle OMB\) маємо \(\sin(\angle OMB) = \frac{OB}{OM}\), звідки \(OM = \frac{OB}{\sin(\angle OMB)} = \frac{10}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{0.5} = 20\) см. Відповідь: В. 20 см