Задача 2.5. (7 баллов) Компьютерная игра. Дано выражение вида: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 В начале игры вместо каждого знака на экране появляется случайным образом «плюс» или «минус». За один ход можно одновременно поменять два знака, стоящие рядом с каким-нибудь числом, на противо- положные. Требуется, сделав не более 12 ходов, получить пример с ответом, кратным 11. Всегда ли можно этого добиться? Если ответ «да», то опишите способ, если ответ «нет» объясните почему.

Решение:

Сумма чисел от 1 до 12 равна $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78$$.

Пусть есть некоторая сумма S. Заменим два соседних знака, например, перед числами i и i+1. Тогда новая сумма будет $$S' = S - (\pm i \pm (i+1)) + (\mp i \mp (i+1))$$. То есть, изменение суммы будет равно $$\pm 2i \pm 2(i+1)$$. Заметим, что изменение суммы всегда будет четным.

Первоначально сумма была 78. Наша цель - получить сумму, кратную 11. Ближайшие числа, кратные 11, это 77 и 88. От 78 до 77 можно дойти за один шаг, изменив сумму на 1. Но изменение всегда должно быть четным. Значит, до 77 мы никогда не дойдем.

До 88 можно дойти, изменив сумму на 10. Но изменение всегда должно быть четным. Значит, до 88 мы никогда не дойдем.

Следовательно, невозможно получить пример с ответом, кратным 11.

Ответ: нет, нельзя.