Задача 2.1. (7 баллов) В турнире по теннису (каждый играет со всеми участниками по одной партии) участвовали 10 игроков. В каждом матче судьей был один из других участников. а) Могло ли оказаться, что все участники судили одинаковое число матчей? б) Изменится ли ответ в задаче, если в турнире примет участие 9 игроков? Все ответы требуется обосновать (если ответ «да» приведите пример подходящего расписания, если ответ «нет» объясните почему).

Решение:

а) В турнире участвуют 10 игроков, каждый играет с каждым по одному разу. Общее количество партий равно числу сочетаний из 10 по 2, то есть $$C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$$.

Каждый матч судит один из оставшихся 8 игроков. Пусть каждый участник судил x матчей. Тогда общее число судейств равно 10x. Так как каждое судейство соответствует матчу, то 10x = 45. Но 45 не делится на 10, значит, не может быть, чтобы каждый участник судил одинаковое количество матчей.

б) В турнире участвуют 9 игроков, каждый играет с каждым по одному разу. Общее количество партий равно числу сочетаний из 9 по 2, то есть $$C_9^2 = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$$.

Каждый матч судит один из оставшихся 7 игроков. Пусть каждый участник судил x матчей. Тогда общее число судейств равно 9x. Так как каждое судейство соответствует матчу, то 9x = 36. Отсюда, x = 4. Значит, каждый участник мог судить одинаковое количество матчей.

Пример расписания, где каждый игрок судит 4 матча:

Пусть игроки обозначены числами от 1 до 9. Перечислим матчи, которые судит каждый игрок:

• Игрок 1 судит матчи: 2-3, 4-5, 6-7, 8-9
• Игрок 2 судит матчи: 3-4, 5-6, 7-8, 9-1
• Игрок 3 судит матчи: 4-5, 6-7, 8-9, 1-2
• Игрок 4 судит матчи: 5-6, 7-8, 9-1, 2-3
• Игрок 5 судит матчи: 6-7, 8-9, 1-2, 3-4
• Игрок 6 судит матчи: 7-8, 9-1, 2-3, 4-5
• Игрок 7 судит матчи: 8-9, 1-2, 3-4, 5-6
• Игрок 8 судит матчи: 9-1, 2-3, 4-5, 6-7
• Игрок 9 судит матчи: 1-2, 3-4, 5-6, 7-8

Ответ: а) нет, не могло; б) да, может.