Задача 2.4. (7 баллов) Винни-Пух и Кролик вышли одновременно из своих домиков и направились навстречу друг другу по прямой дороге. Обычно они ходят с одинаковыми скоростями, но в этот раз Винни- Пух половину времени до встречи сочинял свои «шумелки-сопелки» и шел вдвое медленнее. Да и Кролик половину пути до места встречи думал «о положении земной оси» и тоже шел вдвое медленнее. После чего каждый из них, покончив с любимым делом, шел как обычно. Когда они встретились, оказалось, что один из них прошел на 80 метров больше, чем другой. Кто из них прошел большее расстояние, и как далеко их дома находятся друг от друга?

Решение:

Пусть v - обычная скорость Винни-Пуха и Кролика, t - время до встречи, s - расстояние между домами.

Тогда Винни-Пух половину времени шел со скоростью v/2, а половину времени - со скоростью v. Значит, расстояние, которое прошел Винни-Пух, равно $$\frac{t}{2} \cdot \frac{v}{2} + \frac{t}{2} \cdot v = \frac{3tv}{4}$$.

Кролик половину пути шел со скоростью v/2, а половину пути - со скоростью v. Значит, время, которое он шел половину пути со скоростью v/2, равно $$\frac{s}{2} / \frac{v}{2} = \frac{s}{v}$$. Время, которое он шел половину пути со скоростью v, равно $$\frac{s}{2} / v = \frac{s}{2v}$$. Тогда общее время равно $$\frac{s}{v} + \frac{s}{2v} = \frac{3s}{2v}$$. Но это время равно t, то есть, $$\frac{3s}{2v} = t$$. Отсюда, $$s = \frac{2tv}{3}$$. Расстояние, которое прошел Кролик, равно s/2 + s/2 = s = $$\\\frac{2tv}{3}$$

Так как один из них прошел на 80 метров больше, чем другой, то $$\| \frac{3tv}{4} - \frac{2tv}{3} \| = 80$$

$$\| \frac{9tv - 8tv}{12} \| = 80$$ $$\frac{tv}{12} = 80$$ $$tv = 960$$

Расстояние, которое прошел Винни-Пух, равно $$\frac{3tv}{4} = \frac{3 \cdot 960}{4} = 3 \cdot 240 = 720$$ метров.

Расстояние, которое прошел Кролик, равно $$\frac{2tv}{3} = \frac{2 \cdot 960}{3} = 2 \cdot 320 = 640$$ метров.

Винни-Пух прошел большее расстояние.

Расстояние между домами равно 720 + 640 = 1360 метров.

Ответ: Винни-Пух прошел большее расстояние. Расстояние между домами 1360 метров.