Задача №5 *. В трапеции ABCD BC и AD- основания трапеции. Найдите площадь трапеции ABCD, если AB=15мм, BC=4мм, CD=41мм, AD=56мм.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \(S = (1/2) * (a + b) * h\), где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота. В данном случае, основания \(BC = 4\) мм и \(AD = 56\) мм известны. Нужно найти высоту \(h\). Проведем высоты \(BH\) и \(CF\) из вершин \(B\) и \(C\) на основание \(AD\). Тогда \(BCFH\) - прямоугольник, и \(HF = BC = 4\) мм. Обозначим \(AH = x\). Тогда \(FD = AD - AH - HF = 56 - x - 4 = 52 - x\). Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(CDF\). В треугольнике \(ABH\): \(AB^2 = AH^2 + BH^2\), то есть \(15^2 = x^2 + h^2\), следовательно, \(225 = x^2 + h^2\). В треугольнике \(CDF\): \(CD^2 = FD^2 + CF^2\), то есть \(41^2 = (52 - x)^2 + h^2\), следовательно, \(1681 = (52 - x)^2 + h^2\). Выразим \(h^2\) из первого уравнения: \(h^2 = 225 - x^2\). Подставим во второе уравнение: \(1681 = (52 - x)^2 + 225 - x^2\) \(1681 = 2704 - 104x + x^2 + 225 - x^2\) \(1681 = 2929 - 104x\) \(104x = 2929 - 1681 = 1248\) \(x = 1248 / 104 = 12\) мм. Теперь найдем \(h^2 = 225 - x^2 = 225 - 12^2 = 225 - 144 = 81\). \(h = \sqrt{81} = 9\) мм. Теперь можно найти площадь трапеции \(ABCD\): \(S = (1/2) * (BC + AD) * h = (1/2) * (4 + 56) * 9 = (1/2) * 60 * 9 = 270\) мм². Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 270 мм².